Qué es un palindromo:" Un palíndromo (del griego palin dromein, volver a ir hacia atrás) es una palabra, número o frase que se lee igual hacia adelante que hacia atrás. Si se trata de un número, se llama capicúa. Habitualmente, las frases palindrómicas se resienten en su significado cuanto más largas son".

El algoritmo es bastante sencillo, pero les servirá a los que estén iniciando con funciones recursivas:

public static boolean comprobar(String palabra){
if(palabra.length() == 1 || palabra.length() == 0)
return true;
else{
if(palabra.charAt(0) == palabra.charAt(palabra.length()-1) )
return comprobar(palabra.substring(1,palabra.length()-1));
return false;
}
}

espero que sea de ayuda